NUMEROS SIGNADOS

sábado, 13 de julio de 2013

RADICACION

La raíz de índice natural de un número se define así:

La raíz enésima de un número N llamado radicando consiste en hallar un número a que elevado al índice n, obtengamos N

Los signos de la raíz se deducen a partir de los signos de la potencia
La regla de los signos en la raíz

ⁿ N = a n es un número natural	Por la definición: N = aⁿ
Radicando positivo: N > 0	Dos caso pueden presentarse: Índice par: Dos raíces una positiva y otra negativa porque cualquiera que sea la base elevada a exponente par la potencia es positiva Índice impar: Una raíz positiva ya todo número positivo elevado a exponente entero es positivo
Radicando negativo: N < 0	La operación solo es posible si el exponente es impar. La raíz es negativa porque producto impar de signos negativos es negativo , ya que si el exponente es impar el signo de la potencia es el de la base

OBSERVACIÓN: Se está hablando de raíces reales. No se han tenido en cuenta las raíces complejas cuya

resolución escapa al contenido que nos proponíamos.

La regla de los signos en la radicación se puede resumir así:

La raíz de índice impar es positiva si el radicando es positivo y negativa si es negativo La raíz de índice par tiene dos soluciones opuestas; esto es: Una positiva y otra negativa

OBSERVACIÓN: Es de destacar que los números negativos no tienen raíz de índice par en los números reales.

POTENCIACION

N = aⁿ	_{n veces} Por la definición: N = a.a.a....a
base positiva: a > 0	La potencia es positiva porque producto de signos positivos es positivo N > 0
base negativa: a < 0	Dos casos pueden presentarse: Exponente par: La potencia es positiva porque producto par de signos negativos es positivo N >0 Exponente impar: La potencia es negativa porque producto impar de signos negativos es negativo N < 0

Parece una buena estrategia para justificar la regla de los signos en la potencia y se puede concluir así:

La potencia de base positiva siempre es positiva.
La potencia de base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar

ADICION

La idea intuitiva que tenemos de la adición es la de añadir o agregar. Los números que se agregan se llaman sumandos y el resultado, suma.

En el cuadro, se simbolizan por a, b, S.
Usando esta idea y la estrategia anterior justificaremos la regla de los signos en la suma.

Regla de los signos en la adición.

a + b = S	Leyenda
(+) + (+) = +	La suma de dos números positivos es positivo. Si nos entregan dinero, tendremos más dinero
(+) + (-) = ? (-) + (+) = ? *()**	La suma de un número positivo y otro negativo tiene resultado incierto. Si tengo dinero y he de pagar una deuda que es lo mismo que si tengo una deuda que pagar y recibo dinero para satisfacerla, el resultado depende de dos valores: Lo que tengo y la deuda. ¿Es mayor la deuda? Seguiré teniendo deuda, resultado negativo ¿Tengo dinero suficiente? Seguiré teniendo dinero, resultado positivo
(-) + (-) = -	La suma de dos números negativos es negativo. Si tengo una deuda y contraigo otra deuda, tendré una deuda mayor

(*) Propiedad conmutativa de la suma. Ver propiedades.

Observaciones sobre los signos

Contraer una deuda lo asociamos al signo (-). Tener dinero lo asociamos al signo (+). Los valores lo representamos por números, los mismos para las deudas que para lo disponible. Cuando queremos representar el valor numérico, independiente del signo, esto es, que sea deuda o no, la matemática introduce el concepto de valor absoluto o módulo; así: [+3] = 3 y [-3] = 3

El valor absoluto o módulo de un número es su valor aritmético independiente de su signo.

Con esta definición interpretamos la columna de la izquierda de esta manera:

Regla de los signos en la adición.

a + b = S	Leyenda
(+) + (+) = + (-) + (-) = -	La suma de dos números de igual signo, es otro número de igual signo que los sumandos: (+5) + (+3) = (+ 8) y (-5) + (-3) = (-8)
(+) + (-) = ? (-) + (+) = ? *()**	La suma de dos números de signo contrario , es otro número de igual signo que el del mayor valor absoluto de los sumandos: (+5) + (-3) = +2 y (-5) + (+3) = - 2

SUSTRACCION

La idea intuitiva que tenemos de la sustracción es la contraria u opuesta a la adición; esto es, disminuir o reducir.

La definición de la sustracción se apoya en la adición, así:

La sustracción de dos números llamados minuendo (M) y sustraendo (S), es otro número, diferencia (D) o resta, que sumado al sustraendo se obtenga el minuendo.

En símbolos: M - S = D ó M = S + D

Una sustracción se transforma en adición cambiando el signo al sustraendo

Toda “construcción” matemática, nueva, se apoya en lo ya “construido”; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento matemático se llega a una situación ya estudiada se dice: “estamos en el caso anterior”. Si la sustracción se puede transformar en adición, la regla de los signos de la sustracción se justificará a partir de los signos obtenidos de aplicar la regla de la adición.

Usando de esta estrategia justificaremos la regla de los signos en la sustracción, transformándolos en la suma. Así:

M - S = M + (-S)

Regla de los signos en la sustracción.

M - S = D	Transformación aplicando la estrategia M + (-S) = D
(+) - (+) = (+) + (-) = ?	Valor indeterminado. Situación equivalente a la fila segunda de la tabla de la adición
(-) - (-) = (-) + (+) = ?	Valor indeterminado. Situación equivalente a la fila segunda de la tabla de la adición
(-) - (+) = (-) + (-) = -	Situación equivalente a la fila tercera de la tabla de la adición
(+) - (-) = (+) + (+) = +	Situación equivalente a la fila primera de la tabla de la adición

MULTIPLICACION

La definición formal de multiplicar es:

Multiplicar dos números, multiplicando y multiplicador, es hallar un tercero, producto, que sea en magnitud y signo respecto al primero lo que el segundo es a la unidad entera y positiva

NOTA: La palabra magnitud se toma como valor numérico.

Usando de esta definición justificaremos la regla de los signos en la multiplicación; así:

Comparo el signo del multiplicador con la unidad positiva, pueden ser iguales o contrarios; la misma relación ha de darse entre el producto y el multiplicando.

La regla de los signos en la multiplicación.

M x m = P	(+1) Es la unidad entera y positiva de referencia con la que se ha de comparar el signo del multiplicador
(+) x (+) = +	¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Iguales. Así han de ser los signos del producto y multiplicando
(+) x (-) = -	¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Contrarios. Así han de ser los signos del producto y multiplicando
(-) x (+) = -	¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Iguales. Así han de ser los signos del producto y multiplicando
(-) x (-) = +	¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Contrarios. Así han de ser los signos del producto y multiplicando

Parece una buena estrategia para justificar la regla de los signos en la multiplicación y se puede concluir así:

El producto de signos iguales es positivo. El producto de signos contrarios es negativo

DIVISIÓN DE NÚMEROS SIGNADOS

La definición de la división es:

Dividir dos números, dividendo y divisor, es hallar un tercero, cociente, que multiplicado por el divisor se obtenga el dividendo

Como se ha dicho en la adición, toda “construcción” matemática, nueva, se apoya en lo ya “construido”; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento matemático se llega a una situación ya estudiada se dice “estamos en el caso anterior”.

Si la división se define partiendo de la definición de multiplicación o producto, la regla de los signos de la división se justificará a partir de los signos obtenidos de aplicar la regla de la multiplicación. Dicho de otra manera: Se elige el signo del cociente que al multiplicarlo por el signo del divisor obtenemos el signo del dividendo.

La regla de los signos en la división.

D : d = c	Por la definición: d x c = D
(+) : (+) = +	Porque (+) x (+) = +
(+) : (-) = -	Porque (-) x (-) = +
(-) : (+) = -	Porque (+) x (-) = -
(-) : (-) = +	Porque (-) x (+) = -

Parece una buena estrategia para justificar la regla de los signos en la División y se puede concluir así:

El cociente de signos iguales es positivo. El cociente de signos contrarios es negativo

TIPOS DE NÚMEROS

Un número es un símbolo que representa una cantidad.
Los números se clasifican en seis tipos principales:

a) números naturales “N“
b) números enteros “Z”
c) números racionales “Q”
d) números irracionales "I"
e) números reales “R”
f) números complejos “C”.

En esta clasificación cada tipo de números es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números complejos “C”, que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores, (excepto los racionales y los irracionales que son ajenos)

Los números signados son los números que están incluidos en los racionales positivos y negativos.

A continuación vamos a ver qué números pertenecen a cada tipo o conjunto y al final del artículo se podrá visualizar un diagrama para asimilar la jerarquía entre ellos.

Los Números Naturales “N” son todos los números mayores de cero* (algunos autores incluyen también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria. N = [1, 2 , 3, 4, 5...]

Los Números Enteros “Z” incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos (los números negativos). Es decir: Z = [...-2, -1, 0, 1, 2...]

Los Números Racionales “Q” son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]
Los números irracionales "I", son aquellos que no se pueden expresar como fracción de dos números enteros y son decimales infinitos no periódicos. Por ejemplo: I=[ pi, e]

Los Números Reales “R” se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores.

Los Números Complejos “C” incluye todos los números anteriores más el número imaginario “i“.
C = [N, Z, Q, R, I]